Soutien Scolaire Keepschool

Translations et homothéties

1 Translations et rotations

Définition 2 : O est point fixe.

  • L'image d'un point M distinct de O par la rotation de centre O et d'angle d dans le sens de la flèche est le point M' tel que : OM' = OM et MOM'= d.
  • L' image du point O est le point O lui-même.

2 Symétrie orthogonale

Définition : soit (d) une droite.

On désigne par symétrie d'axe symétrie orthogonale par rapport à (d), la transformation permettant de passer d'un point M du plan à un unique point M' de ce même plan, et définie de la manière suivante : M = M'.

  • (d) est la médiatrice du segment [MM'], si M n'appartient pas à (d).
  • si M appartient à (d), alors on a M = M'.

Remarque : on appelle également cette transformation réflexion par rapport à (d).

Propriétés :

  • par une réflexion, l'image d'une droite (d) est une droite
  • par une réflexion, l'image d'un segment est un segment de même longueur.
  • Par une réflexion, l'image d'un cercle (C) de centre O est un cercle (C') de même rayon et dont le centre O' est le symétrique orthogonal (cf plus bas) de O.

Remarque : si l'on sait que deux droites sécantes sont symétriques par rapport à une droite (d), alors leur point d'intersection appartient à la droite (d).

Remarque à propos des figures géométriques : si une droite (d) est axe de symétrie d'une figure F, alors l'image de F par la réflexion d'axe (d) est la figure F elle-même. (Attention : l'ordre des lettres change)

Exemples :

  • les deux diagonales d'un carré sont axes de symétrie de celui-ci.
  • n'importe quels diamètres d'un cercle est axe de symétrie de celui-ci.

3 Symétrie centrale

Définition : soit O un point du plan.

On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation qui à tout point M du plan, associe l'unique point M' du plan tel que O soit le milieu de [MM'].

Propriétés :

  • par une symétrie centrale, l'image d'une droite est une droite parallèle.
  • par une symétrie centrale, l'image d'un cercle (C) de centre O est un cercle de même rayon et dont le centre est l'image de O.

Propriété : la symétrie centrale préserve les longueurs.

4 Caractéristiques des transformations

La réflexion, la symétrie centrale, la translation et la rotation sont des transformations qui conservent :

4.1 Le parallélisme

Lorsque (d) et (D) sont deux droites parallèles, leurs images respectives (d') et (D') sont aussi parallèles.

4.2 L'alignement

Comme l'image d'une droite est une droite : si trois A, B et C sont alignés, leurs images respectives A', B' et C' sont elles aussi alignées.

4.3 Les distances et les aires

  • L' image d'un segment est un segment de même longueur.
  • L' image F' d'un e figure F a la même aire que F.

4.4 Le milieu d'un segment

Soit G le milieu d'un segment [AB]. On note [A'B'] l'image de [AB], et G' l'image de G. G' est alors le milieu de [A'B'].

4.5 L'orthogonalité

Soit (d) et (D) deux droites perpendiculaires. Ainsi, leur images respectives (d') et (D') sont également perpendiculaires.

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