Soutien Scolaire Keepschool

Inégalités, inéquations et approximations

1 Rappels introductifs

Remarques préliminaires sur les inégalités

  • Lorsque l’on ajoute deux inégalités dans le même sens, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes.
    Si a £ b et c £ d alors (a + c) £ (b + d)
  • Lorsque l’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens et dont les termes sont positifs, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes
    Si a , b, c et d positifs et a £ b et c £ d alors ac £ bd

Rappel sur le signe d’un produit et d’un quotient

  • PRODUITS : Si deux expressions sont de même signe, leur produit est positif
    Si deux expressions sont de signes contraires, leur produit est négatif
  • QUOTIENTS : Si deux expressions sont de même signe, leur quotient est positif
    Si deux expressions sont de signes contraires, leur quotient est négatif

Aide-mémoire :

  • " + " x " + " = " + "
  • " + " x " - " = " - "
  • " - " x " - " = " + "

2 Les inégalités

CARRES

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

a ³ 0 et b ³ 0, si a £ b alors a² £

Remarque importante : soit a un nombre strictement positif.

  • si a > 1, alors a2 > a
  • si a < 1, alors a2 < a

RACINE CARREE

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.

a ³ 0 et b ³ 0, si a £ b alors Va £ Vb

INVERSE

Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.

a > 0 et b >> 0, si a < b alors 1/a > 1/b

3 Les intervalles

Soit a et b deux réels tels que a < b.

  • L'intervalle [a ; b] représente l'ensemble des réels x tels que a £ x £ b (intervalle fermé )
  • L'intervalle ]a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a < x < b (intervalle ouvert)
  • L'intervalle [a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a £ x < b (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé)

Remarque : Un intervalle peut être semi-ouvert ou semi-fermé à droite ou à gauche.

Les intervalles illimités

Soit b et c des réels quelconques

  • L’intervalle [b ; +¥[ représente l’ensemble des réels tels que x ³ b
  • L’intervalle [-¥ ; c[ représente l’ensemble des réels tels que x £ c
  • L’intervalle ]-¥ ; +¥[ représente l’ensemble des réels

A noter :

  • R+ représente l’intervalle [0 ; +¥[
  • R- représente l’intervalle ]-¥, 0]
  • R représente l’intervalle ]-¥ ; +¥[

4 Les approximations

Définition : Soit x un nombre quelconque." Encadrer " x, c’est trouver deux réles a et b, avec a < b, tels que l’on ait a £ x £ b. Le nombre (b – a) est appelé l’amplitude de cet encadrement.

Vocabulaire : Si x £ a, on dit que x est majoré par a ( on parle aussi du majorant de x) Si x ³ b on dit que x est minoré par b ( on parle aussi du minorant de x)

5 Approximations par excès, défaut et troncature

Approximation par excès

Soit a un réel strictement positif, x et E deux réels quelconques. On dit que E est une approximation par excès de x "à a près" si on a :

E - a £ x £ E

Approximation par défaut

Soit b un réel strictement positif, x et D deux réles quelconques. On dit que D est une approximation par défaut de x à " b près " si on a :

D £ x £ D + b

Approximation par troncature

Tronquer un réel à n décimales près consiste à l’approcher par défaut à 10-n près.

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