Soutien Scolaire Keepschool

Géométrie dans l'espace

1 Premières définitions

  • Définition 1 : Un plan est défini par trois points non-alignés. Autrement dit, soit trois points A, B et C non-alignés. Ces trois points définissent un plan que l'on appellera (ABC).
  • Définition 2 : Si une droite (D) contient deux points A et B d'un plan (P), alors cette droite est incluse dans ce plan.
  • Définition 3 : soit A, B, et C trois points non-alignés st D un point quelconque de l'espace. Les quatre points sont coplanaires si et seulement si D est u point du plan défini par (ABC).
  • Définition 4 : soit (P) et (P') deux plans distincts. Si ces deux plans ont un point en commun, alors leur intersection est une droite qui passe par ce point.

2 Parallélisme de droites et de plans

  1. Parallélisme entre deux plans : soit deux plans (P) et (P'). Si ces deux plans sont parallèles, ils sont soit confondus, soit il n'ont aucun point commun.
  2. Parallélisme entre deux droites : soit deux droites (d) et (d'). Si ces deux droites sont parallèles, elles sont soit confondues, soit coplanaires ( càd appartenant au même plan) et sans point commun.
  3. Parallélisme entre un plan et une droite : soit (d) une droite et (P) un plan. Si (d) et (P) sont parallèles, alors soit (d) est contenue dans (P), soit (d) et (p) n'ont aucun point commun.
  4. Projection sur un plan parallèlement à une droite : Soit (P) un plan, (d) une droite qui coupe le plan (P) et A un point de l'espace. Ainsi, la droite parallèle à (d) passant par le point A coupe le plan (P) en b. On dit alors que le point b est le projeté de A sur le plan P parallèlement à la droite (d).

Des deux premières définitions, il est possible de tirer quatre conséquences :

  • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre.
  • Si deux plans (P) et (P') sont parallèles, alors tout plan qui coupe (P) coupe également (P') et leurs intersections sont des droites parallèles.
  • Si deux droites (resp. deux plans) sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles (resp. les deux plans sont parallèles entre eux).

Soit A un point quelconque de l'espace. Il passe :

  • une seule droite parallèle à une droite donnée.
  • un seul plan par rapport à un plan donné.

De même, de la dernière définition, il est possible se tirer trois conséquences :

  • Soit (d) une droite contenue dans un plan (P). Si (d) est parallèle à une droite (d'), alors la droite (d') est parallèle au plan (P).
  • Si une droite (d) est parallèle à deux plans (P) et (P') qui sont sécants, alors la droite (d'), intersection des deux plans, est parallèle à (d).
  • Soit (P) un plan défini par deux droites sécantes. Si ces deux droites sont parallèles à un plan (P'), alors (P) est parallèle à (P').

3 Orthogonalité de droites et de plans

Droites orthogonales :

Dans l'espace, on parle de droites orthogonales lorsque l'on peut trouver un point A tel que les parallèles à ces droites passant par A sont perpendiculaires.

Remarque : deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires ( elles ne sont pas obligées d'appartenir au même plan et donc de se croiser).

Droites orthogonales à un plan :

Soit (d) une droite et (P) un plan. (d) est orthogonale à (P) si elle est orthogonales à toutes les droites contenues dans ce plan.

3 conséquences :

  • pour qu'une droite (d) soit parallèle à un plan (P), il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de (P).
  • il existe une unique droite passant par un point donné et orthogonale à un plan donné.
  • il existe un unique plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée.

4 Orthogonalité et parallélisme de droites et de plans

  • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont parallèles entre eux.
  • Si deux plans sont parallèles entre eux, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
  • Si deux droites sont parallèles, tout plan à l'une est orthogonal à l'autre.
  • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont parallèles entre elles.

5 Plan médiateur et projeté orthogonal d'un point

Définition : Soit un segment [BC] et O son milieu. On appelle plan médiateur de [BC] le plan passant par O et orthogonal à la droite (BC).
Remarque : Si un point M appartient au plan médiateur de [BC], alors on a BM = CM.

Définition : Soit B un point et (P) un plan ne contenant pas B. On appelle b le point appartenant au plan (P) tel que la droite (Bb) soit orthogonale au plan (P). b est alors appelé le projeté orthogonal du point B sur le plan (P).

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