Calcul numérique

1 Rappel : factorisation et développement

1.1 Le développement

Développer une expression, c'est chercher à obtenir une écriture sans parenthèses. Pour cela, on peut avoir recours aux identités remarquables.

a (b + c) = ab + ac (vrai pour tous nombres a, b, c)
5(x + 9) = 5x + 45

1.2 La factorisation

La factorisation est le contraire du développement : c'est écrire une expression sous la forme d'un produit de facteurs. Les identités remarquables sont là aussi d'une grande utilité.

ab - ac = a (b-c)
6x - 18x = 6 (x -3)

De plus, pour factoriser une expression écrite sous la forme d'une somme de plusieurs termes, on peut commencer par identifier un facteur commun à tous les termes.

A=(2x + 3)(x - 1) + (x² - 1)(x + 3)
=(2x + 3)(x - 1) + (x + 1)(x – 1)(x + 3)
=(x – 1) ((2x + 3) + (x + 1)(x + 3))

1.3 Identités remarquables

A connaître par coeur

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)

2 Puissances entières

Définition : b etant un nombre quelconque et n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2, la puissance n-ième de b est le nombre bn défini par:

bn = b x b...... x b (n facteurs)

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
(a + b)3 = (a + b) x (a + b) x (a + b)

Remarques :

quel que soit le nombre b, b1 = b ;
quel que soit le nombre b non nul, b0 = 1.
Si n est un nombre entier strictement positif et b un nombre non nul:
- a-n = 1/an et notamment a-1 = 1/a

Règles de calcul sur les puissances entières

soit a et b deux réels non nuls, n et p deux entiers naturels, on a :

an x ap = a(n+p)
an / ap = a(n - p)
(an)p = a(n x p)
(ab)n = an x bn
(a / b)n = an / bn

IMPORTANT : tout nombre positif b peut s'écrire sous la forme b = a x 10p, où a est un nombre vérifiant 1 <= a < 10 et p est un nombre entier relatif. Cette notation s'appelle la notation scientifique.

3 Racine carrée

Définition : a désignant un nombre positif ou nul, il existe un nombre x positif ou nul tel que x2 = a . x est appelé racine carrée de a, et on note Va .

Remarque : on peut alors écrire pour tout nombre a positif ou nul : (Va)2 = a

(V7)2 = 7

Calcul avec les radicaux

a et b étant 2 nombres positifs, on a :

Vab = Va x Vb
V(a / b) = Va / Vb, si b est différent de 0.

A étant un nombre positif, n un entier, on a :

(Va)n = V(an)

4 Equation de la forme AX+B=0

Définition : soit a un nombre non nul, et b un nombre quelconque.

On appelle équation du premier degré à une inconnue une équation qui peut s’écrire sous la forme : ax + b = 0

Remarque : un nombre x0 est solution de cette équation si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’égalité ax0 + b = 0 est vraie. Résoudre l’équation, c’est donc trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.

3 cas peuvent se présenter :

On a ax + b = 0 :

si a différent de 0, alors l’équation a une solution unique qui est : - b / a.
si a = 0.Si b est différent de 0, alors l’équation n’ a aucune solution .
si b = 0, alors tout nombre de l'ensemble réel R est solution.

5 Inéquation du premier degré à 1 inconnue

Signe de ax + b

L’expression ax + b où a est un nombre non nul et b un nombre quelconque :

s’annule pour x = -a / b
est du signe de a pour a > -b / a
est du signe de (-a) pour x < -b /a

Résolution d’une équation du premier degré

Définition : on appelle inéquation du premier degré à une inconnue x une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des 4 formes suivantes :

ax + b <= 0
ax + b < 0
ax + b >= 0
ax + b > 0

Remarque : un nombre x0 est une soulution de l’inéquation ax + b > 0 si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’inégalité ax0 + b > 0 est vraie. Résoudre l’inéquation ax + b > 0, c’est trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.

6 Autres types d'équations à résoudre

Equations du type (ax + b) (cx + d)

Remarque préliminaire : AB = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

D’après la remarque précédente, pour résoudre l’équation (2x + 10)(x – 3 ) = 0, il faut résoudre chacune des équations 2x + 10 = 0 et x – 3 = 0. Les solutions de cette équation sont donc x = 3 et x = -5.

Equation du type x2 = a

a étant un réel strictement positif donné, l’équation x2 = a admet 2 solutions qui sont :

Démonstration : x2 = a <-> x2 - (Va)2 = 0 <-> (x – Va)(x + Va) = 0 (identités remarquables)

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