Soutien Scolaire Keepschool

Angles orientés

1 Angles orientés

1.1 Définitions

Dans les angles orientés, il y a nécessité (comme le nom l'indique) d'orienter le cercle; c'est-à-dire qu'on définit sur le cercle C(O;R) un sens direct, positif et le sens contraire dit indirect ou négatif. Ainsi on dit souvent que sur un cercle, le sens inverse des aiguilles d'une montre est le sens trigonométrique.

DEFINITION : Un cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1.

Le plan est dit orienté quand tous les cercles du plan sont orientés positivement. (c'est à dire dans le même sens que le sens initial.)

DEFINITION : si on a deux vecteurs et , l'angle formé par et se note .

On note une mesure quelconque de l'angle orienté ; il y a une infinité de mesures de cet angles ;si a et b sont deux mesures de on peut cependant établir le lien suivant a = b (2p)

Cela signifie qu'il existe k entier naturel tel que b = a +2k.p

ATTENTION: on lit (2 p ) "modulo 2 p " et il faut faire attention à toujours le mettre lors des égalités d'angle car on peut avoir des modulos, 2p, etc…

Ainsi il y a plusieurs mesures de mais on va en choisir une par convention : on choisit pour cela un intervalle de référence ]-p ; p]; et l'angle admet une seule mesure dans cet intervalle appelée mesure principale.Dans la pratique on retranche ou on ajoute toujours 2p, k fois, pour tomber dans l'intervalle ]-p ; p].

1.2 Remarques

Remarque : un angle droit est un angle où = p/2 (p) et non pas (2p). En effet si = p/2 (2p), on dit que (u;v) est un angle droit dans le sens positif. Mais si = -p/2 (2p), alors l'angle (u;v) est un angle droit dans le sens indirect.

Remarque: si et sont colinéaires :

  • de même sens alors =0 (2p)= 2kp
  • de sens contraires alors =p(2p) = (2k+1).

Ce sont les mesures principales car on peut aussi dire dans le dernier cas que =-p ou =3p, etc….

On peut dire aussi que =0(p) et ça signifie que et sont colinéaires, de même sens ou non.

On peut donc utiliser les angles orientés pour montrer que 2 vecteurs sont colinéaires :finalement cela montre qu' on a des équivalences:

  • = 0(2p) <-> et colinéaires de même sens
  • = p(2p) <-> et colinéaires de sens contraires.

1.3 Propriétés

Propriétés:

  • (u;v)= - (v;u) (pour simplifier l'écriture, on note (u;v) l'angle )
  • (-u; v)=(u; -v) =(u; v)+aa est l'angle de mesure p
    • d'où en termes de mesures si q est la mesure de (u;v), alors – q(2p) est la mesure de (v;u)
    • et q + p(2p) est la mesure de (-u;v).
  • (u;w)=(u;v)+(v;w)
    • d'où en termes de mesures si q est la mesure de (u;w), a la mesure de (u;v) et b la mesure de (v;w), on a
      q = a + b (2p).

NB: veiller à utiliser les "modulo 2 " pour les mesures d'angles mais pas pour les angles car cela n'aurait aucune signification.

1.4 Multiplication par un réel

  • on a pour les mesures = (2p)
  • On a aussi = (2p)
  • Mais par contre (2p)
    • Plus exactement = + p(2p).

On peut donc généraliser le processus :

  • =(ku;lv) (2p) si k et l sont deux réels de même signe
  • =(ku;lv) + p(2p) si k et l sont deux réels de signe contraires.

Remarque :on utilise souvent des vecteurs unitaires pour définir les angles orientés;

ainsi l'angle (OA;OB) a pour mesure si = et si = . Alors on a clairement et de norme 1 donc unitaires.

2 Bases orthonormales directes

Si est une base orthonormale du plan orienté, cette base peut être directe ou indirecte.

On dit qu' elle est directe si = p/2 (2p)

et qu'elle est indirecte si = -p/2 (2p).

Ainsi pour tout vecteur unitaire du plan, il existe un vecteur tel que forme une base orthonormale directe du plan. C'est pour cela qu'on parle habituellement de (O, , ) qui est un repère orthonormé direct.

3 Cosinus et sinus d'un angle orienté de deux vecteurs

Soit un angle, soit a une mesure de cet angle, c 'est à dire que l'on a a = .

DEFINITIONS:

  • le cosinus de l'angle (u;v) est un nombre réel noté cos.
  • Le sinus de l'angle (u;v) est un nombre réel noté sin.
  • On a donc cos (u;v)=cos a et sin (u;v)=sin.

On doit connaître des valeurs dites remarquables de cosinus et sinus.

Angle en Degrés 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Angle en Radians 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 5p/6 p
Cos 1 1/2 0 -1/2 -1
Sin 0 1/2 1 1/2 0

Un bon moyen pour retenir ce tableau est de se référer au cercle trigonométrique.

4 Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale directe

Si on a un repère orthonormé direct (O, ,), et A un point fixé, quelles sont les coordonnées du vecteur OA?

On dit que a est une mesure de.

Posons = ; est donc un vecteur unitaire (de norme 1) et on a aussi a = (2p).

On voit clairement quelles sont les coordonnées de en le projetant sur l'axe des abscisses puis en le projetant sur l' axe des ordonnées.

On a alors = cos a + sin a.

Et comme = alors = x cos a x + x sin a x.

En bref, si et dans (O, , ) repère orthonormé direct, si a est une mesure de (i;u)(2p), on a ( x cos a ; x sin a ).

4.1 Avec le produit scalaire

  • Si a est une mesure de l'angle orienté (u;v) alors. = x x cos a.
  • Si on a un repère orthonormé direct et un vecteur alors on a. = x et. = y.
  • cela nous donne les coordonnées de, en l' occurrence, les coordonnées sont x = x cos a et y = x sin a.
  • D'où on peut utiliser la formule dans l'autre sens.(c' est une utilisation importante dans les exercices à laquelle on ne pense pas toujours.)

Si on a les coordonnées de et, et si a est une mesure de (u;v), on peut calculer cos (u;v): cos a = (.). Dans le cas déjà vu du vecteur orthogonal unique formant une base orthonormée directe avec, si =x + y, alors = -y +x ( est normal car. = 0 et de plus a la même norme que ).

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